אסייג נולד וגדל בטירת כרמל, במשפחה מסורתית בת שמונה ילדים, לאליס ומכלוף (מקס), שעלו לארץ ממרוקו. ב-1993, שנתיים לאחר שסיים את שירותו הצבאי, החל אסייג להופיע בצוותי הבידור של אילת, ושם הכיר את אשתו הראשונה. בשנה זו החל להופיע במופעי סטנד-אפ ברחבי ישראל. מופעו שם דגש על סיטואציות האופייניות לישראלים ועל יחסים בין גברים ונשים. הוא פרץ לתודעת הקהל הרחב כאשר הופיע בפינת הסטנד-אפ בתוכנית הבידור "סופשבוע" בהגשת דודו טופז ששודרה בערוץ 1. מעט לאחר מכן קיבל פינה קומית קבועה בתוכנית "מרגול" בהגשת מרגלית צנעני, אשר שודרה בערוץ 2 שהחל בשידוריו באותה שנה ושם זכה אסייג לחשיפה משמעותית.
ב-1995 הגיש תוכנית רדיו ברשת ג'. בהמשך, השתתף בתוכנית "קיץ על החוף" בערוץ 2.
ב-1997 זכה אסייג בפרס "נוצת הזהב" של אקו"ם על המופע "אסייג לחוכמה שתיקה" והפך לסטנדאפיסט הראשון והיחיד שזכה בפרס זה. באותה שנה הופיע בתפקיד דרמטי בסרט הטלוויזיה "חתולות הרעם" והחל להגיש פינה קומית בתוכנית האקטואליה "על השולחן", אותה הנחה דן מרגלית בערוץ 2. בשנת 1998 גילם את דמות הנבל אלימלך זורקין במחזמר חסמבה. בשנת 2000 הנחה את השעשועון "לו לה לה" בערוץ 3 בכבלים והשתתף בקליפ לשיר "ב.מ.וו. שחורה" של להקת אתניקס.
ב-2000 יצא עם מופעו השני "שלום עם אסייג".
באותה שנה החל לדבב עבור חברת בזק בינלאומי את התוכי הירוק, המופיע בפרסומות החברה, וכן הוציא לשוק DVD אשר מכיל קטעים נבחרים ממופע הסטנד-אפ שלו והשתתף בסדרת הדרמה "המשאית" אשר שודרה בערוץ 2. ב-2004 הנחה, לצד קובי מידן, את ספיישל "המבחן של ישראל". בשנת 2005 יצא עם המופע השלישי שלו "סטנד אפ במיטבו", ואיתו הוא רץ עד לימים אלו.
ב-2005–2006 הגיש פינת אקטואליה הומוריסטית בתוכניתו של יאיר לפיד, וב-2006 הצטרף לצוות הפאנל הקבוע של תוכנית הבידור "מועדון לילה". ב-2007 הנחה לצד טל ברמן את התוכנית "כישרון או כישלון" בערוץ 2. באותה שנה עלתה הצגת בידור ראשונה בבימויו של אסייג: "הצ'ט ועונשו", בכיכובו של יגאל עדיקא. בהמשך השתתף בסרטים "ברונו מאוהב" ו"רחמים". עוד באותה שנה, גילם את קשקש הדחליל במחזמר "הקוסם!".
החל מ-2008 הנחה אסייג את תוכנית הבידור "צחוק מעבודה", עבור זכיינית השידור רשת בערוץ 2. התוכנית שודרה במשך שבע עונות עד ל-2013, והייתה להצלחה ולמקפצה עבור סטנדאפיסטים צעירים. פורמט התוכנית נמכר למספר מדינות בעולם.
ב-2009 הופיע אסייג בתיאטרון קיסריה ובכך היה לסטנדאפיסט הראשון המעלה שם מופע.
בשנת 2011 הקים את חברת ההפקות "המפיקים גאגא". החברה הפיקה עבור זכיינית ערוץ 2 רשת את "קבלו אותם" – שתי תוכניות ספיישל בהשתתפות סטנדאפיסטים צעירים, את תוכנית המתיחות "כולם עליי" בהנחיית קובי מימון, את שתי עונות התוכנית הקומית "הפרויקט הירוק" עבור ערוץ הוט קומדי סנטרל, ואת "מחר שבת" עבור הערוץ הראשון בהנחיית יעקב כהן ושמואל וילוז'ני. בנוסף הקימה החברה בשיתוף עם אתר ynet את אתר הלימודים המקוונים yschool.
ב-2013 יצר יחד עם אחיו מני אסייג והתסריטאי ליאור פריד את הסדרה הקומית "שנות ה-80", ובה מסופר על ילדותו של שלום בטירת כרמל. בסדרה אסייג מגלם את אביו (ששמו "פרוספר"), ואילו בנו דניאל אסייג מגלם את דמותו בצעירותה. הסדרה עלתה לשידור ב-10 באוקטובר 2013 בערוץ 2, על ידי הזכיינית רשת (ב־2015 הסדרה חזרה לעונה שנייה, ב-2017 חזרה לעונה שלישית, ב־2018 חזרה לעונה רביעית וב-2019 חזרה לעונה חמישית ואחרונה). ב-2022 חזרה לסדרה חדשה בשם שנות ה-90.
ב-2015 הנחה בערוץ 2 את תוכנית הבידור "מלחמת המינים", לצד ליטל שוורץ.
ב-2018 החל לשחק בסדרת הנוער "כפולה" בתור הסוכן של נועה קירל, אשר דמותו מבוססת על סוכנה האמיתי של קירל, רוברטו בן שושן. בנובמבר 2019 נחקרו אסייג ואחיו מוריס באזהרה במשטרה במסגרת חקירת שחיתות בטירת כרמל. ביולי 2020 החליטה הפרקליטות לסגור את התיק מחוסר אשמה.
ב-2020 שיחק בתפקיד הראשי בסדרת המתח "מנאייכ" של ערוץ כאן 11. על משחקו בסדרה זו זכה ב"פרס האקדמיה לטלוויזיה" בקטגוריית השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת דרמה.
ב-2021 השתתף והנחה בתוכנית הבידור "סטנד אפ Nation" ששודרה ב"רשת 13".
אסייג מתגורר ביישוב תל מונד. הוא נשוי בשנית. מנישואיו הראשונים הוא אב לבן אחד, הסטנדאפיסט דניאל אסייג. מנישואיו השניים, נולדו לו בת ובן.
בין אחיו של שלום אסייג התסריטאי מני אסייג ומוריס אסייג, סגן וממלא מקום ראש עיריית טירת כרמל.
